Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về hình học phẳng và đường thẳng.

Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm A. Vì AB là đường chéo của hình vuông nên ta có thể sử dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABD để tính độ dài cạnh của hình vuông, rồi suy ra tọa độ của điểm A.

Với AB: x-y+4=0, ta có hai điểm A thỏa mãn điều kiện này: A(x,y)=(y-4,y) và A'(x',y')=(x'+4,x'). Vì độ dài cạnh của hình vuông là xác định nên ta chỉ cần tìm được một điểm trên cạnh AB, chẳng hạn A, để suy ra tọa độ của các điểm còn lại.

Giả sử ta chọn A(y-4,y), ta có

Ta dễ dàng tính được tọa độ của M và N:

Tiếp theo, ta tính khoảng cách d giữa đường thẳng AB và điểm H. Theo công thức, ta có d(H, AB) = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2), với (A, B, C) là vector pháp tuyến của đường thẳng AB.

Vì AB: x-y+4=0 nên vector pháp tuyến của AB là (1, -1). Điểm H là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN nên ta dễ dàng tính được tọa độ của H là ((y-2)/2, (y-4)/2). Thay vào công thức tính khoảng cách ta có d(H, AB) = |y-2 + 2y-4 + 4| / sqrt(1+1) = 8sqrt(2)/2 = 4sqrt(2).

Vậy, tọa độ các đỉnh của hình vuông là:

Và tọa độ của M và N là:

Khoảng cách giữa đường thẳng AB và điểm H là 4sqrt(2).

Giả sử C(c,3-c). Gọi I là giao điểm của AC và MN, suy ra \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{2(c+2)}{3};\dfrac{2(3-c)}{3}\right)\)

Do đó \(I\left(\dfrac{2c-2}{3};\dfrac{6-2c}{3}\right)\in MN:7x-6y-5=0\Rightarrow c=\dfrac{5}{2}\). Vậy \(C\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Trung điểm của AC là \(P\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4}\right),\overrightarrow{AC}\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow B\left(\dfrac{1}{4}+t;\dfrac{1}{4}-7t\right), D\left(\dfrac{1}{4}-t;\dfrac{1}{4}+7t\right)\).

Vì \(BP=CP=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\)nên \(t=\pm\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(B\left(\dfrac{3}{4};-\dfrac{13}{4}\right),D\left(-\dfrac{1}{4};\dfrac{15}{4}\right)\)hoặc \(B\left(-\dfrac{1}{4};\dfrac{15}{4}\right),D\left(\dfrac{3}{4};-\dfrac{13}{4}\right)\).

khó

kho qua !!!!!!!!!!

Câu 32:

Gọi M là giao điểm d1;d2 thì tọa độ M là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-5y+2=0\\5x-2y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{16}{19};-\frac{2}{19}\right)\)

Do d song song d3 nên d nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(2\left(x+\frac{16}{19}\right)-1\left(y+\frac{2}{19}\right)=0\Leftrightarrow2x-y+\frac{30}{19}=0\)

Câu 33:

\(\overrightarrow{BC}=\left(1;-2\right)\)

Do AH vuông góc BC nên AH nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AH:

\(1\left(x+1\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+5=0\)

Câu 34:

Tọa độ M là: \(M\left(\frac{3}{2};4\right)\)

\(\overrightarrow{CM}=\left(-\frac{3}{2};6\right)=-\frac{3}{2}\left(1;-4\right)\)

Phương trình tham số CM: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-2-4t\end{matrix}\right.\)

Câu 30:

\(\overrightarrow{AB}=\left(-2;0\right)=-2\left(1;0\right)\) nên đường thẳng AB nhận \(\left(1;0\right)\) là 1 vtcp

Phương trình AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-7\end{matrix}\right.\)

Cả 4 đáp án đều ko chính xác

Câu 31:

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(-1;1\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-6;-4\right)=-2\left(3;2\right)\Rightarrow\) đường trung trực AB nhận \(\left(3;2\right)\) là 1vtpt

Phương trình:

\(3\left(x+1\right)+2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x+2y+1=0\)